Теоретическая механика и сопротивление материалов

Задача

Жесткая рама (рис.) закреплена в точке A шарнирно, а в точке B прикреплена к невесомому стержню с шарнирами на концах.

На раму действует пара сил с моментом M =60 Н·м и две силы, F₂=20Н; F₃=30Н, α₂ = 60⁰, α3 = 45⁰.

Определить реакции связей в точках A и B, вызванные действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять l =0,5 м.

Задача

Однородная прямоугольная плита весом Р=3кн со сторонами АВ=3l и ВС=2l закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим подшипником в точке В и невесомым стержнем СС₁.

На плиту действуют пара сил с моментом М = 5 кНм, лежащая в плоскости плиты, и две силы:

F1′, которая параллельна плоскости ху, численно равна F₁=4кН, приложена к точке D,  угол наклона к оси х α₁=60⁰  

и сила F3′ —параллельна плоскости уz, численно равна F₃=8кН, приложена к точке Е, угол наклона к оси z α₃=0⁰

При подсчетах принять l = 0,8 м.

Определить реакции связей в точках А, В и С

Задача

Материальная точка В движется в плоскости xy. Закон движения точки задан уравнениями:

Где координаты выражены в сантиметрах, а время t в секундах.

Найти уравнение траектории. Для момента времени t₁ =1с определить скорость и ускорение точки, а так же касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

Изобразить траекторию, определить положение точки в данный момент времени, изобразить вектор скорости и ускорения точки в заданный момент времени.

Задача

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна B (рис.), соединенных шарнирами друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂; шарнир D находится в середине стержня AЕ(AD=DЕ). Длины стержней равны соответственно: l₁=0,4м, l₂=1,2 м, l₃=1,4 м, l₄=0,8 м

Положение механизма определяется углами α=30⁰, β=150⁰, γ=120⁰, θ=60⁰, φ=0⁰

Угловая скорость звена 1: ω₁ = 2(c^-1)

Определить скорости точек В и Е механизма, угловую скорость стержня 2, а также ускорение точки А, если угловое ускорение стержня 1 ε₁ = 10(c^-2).

Задача

Точка М движется относительно пластины. Уравнение относительного движения т. М: s = AM = 60(t⁴ - 3t²)+56 (см).

Пластина вращается с постоянной скоростью ω = -2 (с^-1).   t=1 с; b=16 см.

Для заданного момента времени определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение т.М.

Задача

Груз D массой m=2,4кг, получив в точке А начальную скорость V₀=12м/с, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. На участке АВ на груз кроме силы тяжести P′ действует постоянная сила Q′ (Q=5Н) и  сила сопротивления среды R′, зависящая от скорости v′ груза, R=0,8V².

 В точке В груз, изменив направление приобретенной скорости, но сохранив при этом ее величину, переходит на участок ВС трубы, где  на него кроме силы тяжести действует  переменная по величине сила F′, направленная вдоль участка ВС, проекция которой на ось Вх: F_x =4cos(4t).

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ=l=1,5м  движения груза от точки А до точки В, найти уравнение х=х(t) движения груза на участке ВС.

Задача

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m1=24 кг и груза D массой m2=6 кг . Плита движется вдоль горизонтальных направляющих. В начальный момент времени t₀=0, когда плита имеет скорость U₀=0м/с, груз начинает двигаться под действием внутренних сил по имеющемуся в плите желобу

(закон движения - ), представляющему собой окружность радиуса R = 0,8 м с центром в центре масс плиты С₁.

Считая груз материальной точкой определить перемещение плиты х₁  за время от t₀ =0 до t₁ =1c.

Задача

Механическая система состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1), сплошного однородного цилиндрического катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней: R₄ = 0,3 м, r₄ = 0,1 м, R₅ = 0,2 м, r₅ = 0,1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу)  (рис.). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием силы F = f (s), зависящей от перемещения точки при­ложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные соответственно М₄ и M₅.

Дано: m1=2 кг, m2=0 кг, m3=4 кг (однородный каток), m4=6 кг, m5=0 кг, (равномерно распределены по ободу), М₄=0 Нм, М₅=0,8 Нм,

F = f(x) = 50(2+3s)Н, f=0,1, R4=0,3 м, r4=0,1 м, R5=0,2 м, r5=0,1 м, s1=1,0 м.

Найти:  в тот момент времени, когда s = s₁

Задача

Вертикальный вал АК, закрепленный подпятником в точке А и радиальным подшипником в точке В, вращается равномерно с угловой скоростью ω = 10 (c^-1).

 К валу жестко прикреплены невесомый стержень 1 длиной l₁=0,4м с точечной массой m₁=6кг на конце и однородный стержень 2 длиной l₂=0,6м массой m₂=4кг. Оба стержня расположены в одной плоскости. Пренебрегая весом вала определить реакции подпятника А и подшипника В и найти динамическую составляющую этих реакций.

α=30⁰,β=45⁰,AB=BD=DE=EK= b=0,4м

Задача

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 весом Р₁ и Р₂ с радиусами ступеней R₁ = R, r₁ = 0,4 R; R₂ = R, r₂ = 0,8R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу); грузов 3, 4 и сплошного однородного цилиндрического катка 5 весом Р₃, Р₄, Р₅ соответственно (рис.). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей парал­лельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскостям без трения, а катки катятся без скольжения.

Кроме сил тяжести на одно из тел системы действует постоянная сила F′, а на шкивы 1 и 2 при их вращении действуют постоянные момен­ты сил сопротивления, равные соответственно М₁ и M₂.

Составить для данной системы уравнение Лагранжа и определить ускорение груза 3.

Тот из грузов 3, 4, вес которого равен нулю, на чертеже не изобра­жать. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему.

Дано: R₁= R₂= R=0,25 м, r₁=0,4R, r₂=0,8R, Р₁=12Р, Р₂=0, Р₃= Р, Р₄= 0, Р₅= 3Р, M₁ =0,2PR, M₂ =0,  F = 8Р,

Найти: а₃