Механическая система состоит из ступенчатых шкивов

Задача

Механическая система состоит из ступенчатых шкивов 1 и 2 весом Р₁ и Р₂ с радиусами ступеней R₁ = R, r₁ = 0,4 R; R₂ = R, r₂ = 0,8R (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу); грузов 3, 4 и сплошного однородного цилиндрического катка 5 весом Р₃, Р₄, Р₅ соответственно (рис.). Тела системы соединены нитями, намотанными на шкивы; участки нитей парал­лельны соответствующим плоскостям. Грузы скользят по плоскостям без трения, а катки катятся без скольжения.

Кроме сил тяжести на одно из тел системы действует постоянная сила F′, а на шкивы 1 и 2 при их вращении действуют постоянные момен­ты сил сопротивления, равные соответственно М₁ и M₂.

Составить для данной системы уравнение Лагранжа и определить ускорение груза 3.

Тот из грузов 3, 4, вес которого равен нулю, на чертеже не изобра­жать. Шкивы 1 и 2 всегда входят в систему.

Дано: R₁= R₂= R=0,25 м, r₁=0,4R, r₂=0,8R, Р₁=12Р, Р₂=0, Р₃= Р, Р₄= 0, Р₅= 3Р, M₁ =0,2PR, M₂ =0,  F = 8Р,

Найти: а₃