Теоретическая механика и сопротивление материалов

Задача Деревянная балка прямоугольного поперечного сечения t × h (рис. 1) подвергается сложному изгибу. Требуется подобрать размеры сечения из условия прочности по нормальным напряжениям. Допускаемое напряжение [σ] = 12 МПа = 1,2 кН/см².
Отношение поперечных размеров h / t = 1,5. Линейные размеры балки и нагрузка даны на рис. 2.

Задача Для бруса определить грузоподъемность  при К₁ = 0,5; К₂ = 2;
20 МПа = 2 кН/см² из условия прочности по нормальным напряжениям. Схема поперечного сечения показана на рис. 1.
Схема бруса и нагрузки дана на рис. 2.

Задача Для конструкции (рис. 1), у которой участок A₀–B круглого сечения, проверить прочность в опасной точке участка A₀–B при 160 МПа = 16 кН/см².

Рис. 1. Сложное сопротивление круглого стержня: а - заданная система; б - расчётная система; в - эпюры

Задача Для центрально сжатой стальной стойки, закрепленной в соответствии с рис. 1, при [σ] = 160 МПа, требуется:

1) из условия устойчивости определить грузоподъемность [F ] стойки, имеющей попе­речное сечение в виде двутавра  № 30;

2) найти критическую силу F_кр и коэффициент запаса по устой­чивости;

3) загружая стойку нагрузкой [F], определенной в п. 1 данной задачи, подобрать попе­речное сечение в виде:

а) кольца с соотношением внутреннего и наружного диаметров a = 0,76;

б) составного сечения из двух прокатных профилей (подбор сечения провести исходя из условия равноустойчивости в обеих плоскостях: λх = λу

Задача Груз массой m = 605 кг падает с высоты h на стальную двутавровую балку (рис. 1). Проверить прочность при [σ_дин] = 120 МПа. Характеристика балки: двутавр  № 36; погонная масса ­q­ = 46,8 кг/м; J_x =13380 см⁴; W_x = 743  см³; модуль Юнга E = 2×10⁵ МПа = 2×10⁴ кН/см²; h = 4 см.

Задача Медный стержень круглого поперечного сечения диаметром d = 2,5 см и длиной Р₀ = 3 м (рис. 1) удерживает на нижнем торце груз массой M = 3920 кг. Пренебрегая массой стержня, определить частоту и период собственных колебаний этой упругой системы.

Решение

Эта система (рис. а) обладает одной степенью свободы.

Круговая частота w собственных колебаний определится по формуле

g = 9,81 м/с² = 981 см/с² – ускорение свободного падения;
D_ст – удлинение стержня от веса Q груза, равного
Q = M g = 3920·9,81 = 38455 Н = 38,455 кН.

Это продольное удлинение в данном случае удобно вычислить по формуле Гука как

где для меди модуль Юнга E_м = 1,1·10⁵ МПа = 1,1·10⁴ кН/см², а площадь поперечного сечения

Тогда круговая частота собственных колебаний ...

Задача На двухопорной балке (двутавр  № 36; погонная масса ­q­ = 46,8 кг/м; J_x = 13380 см⁴; W_x = 743  см³; модуль Юнга E = 2×10⁵ МПа = 2×10⁴ кН/см²) посередине пролета установлен электромотор массой М = 3568 кг (рис. 1).
В связи с несовпадением оси вращения ротора с его центральной осью образовался эксцентриситет е = 0,25 см, что создает из-за динамической неуравновешенности последнего вибрационную нагрузку на балку. Масса неуравновешенной части ротора m = 698,6 кг, а число оборотов его n = 550 об/мин. Требуется проверить эту систему на резонанс, а также прочность балки при [σ] = 120 МПа (при переменных напряжениях, возникающих в элементах конструкции при колебаниях, допускаемые напряжения понижают).

Решение

Рис. 1. К расчету балки на колебания: а – заданная балка; б – расчетная схема и ее грузовое состояние; в – единичное состояние

Пренебрегая массой балки (считая ее невесомой), устанавливаем, что такая система обладает одной степенью свободы, ибо положение массы М при вертикальных колебаниях балки определяется одной координатой – прогибом ее в точке крепления электромотора (т. е. посередине пролета).
Проверка на резонанс. Для этого надо вычислить статический прогиб балки D_ст в точке K (рис. 1). Используем метод Мора в форме Верещагина. Сначала строим эпюру изгибающих моментов грузового состояния от действия веса Q (рис. 1, б), потом эпюру единичного состояния (рис. 1, в). По участкам вычисляем площади W_i грузовой эпюры и определяем положение центров их тяжести.
Под центрами тяжести площадей W_i в эпюре  определяем ординаты

Изгибная жесткость стальной балки в данном случае EJ_x = 2×10⁴ кН/см² ×13380 см⁴ = 2,776×10⁸ кНсм² и, следовательно, при Q = M g = 3568 кг × 9,81 м/с² = 35000 Н = 35 кН,

Задача Пусть клапанная пружина работает в режиме циклического нагружения силой F и имеет следующие размеры (рис.1): D_вн = 38,2 мм, D_нар = 45,8 мм, d = 3,8 мм.

Сила F, сжимающая пружину при полном открытии клапана, F_max = 220 Н = 0,22 кН, а при закрытии клапана имеет величину F_min = 70 Н = 0,07 кН. Пружина выполнена из хромованадиевой стали со следующими механическими характеристиками: пределом текучести τ_т = 920 МПа = 92 кН/см²; пределом выносливости при симметричном цикле τ - 1 = 480 МПа = 48 кН/см²; пределом выносливости при отнулевом (пульсирующем) цикле τ₀ = 800 МПа = 80 кН/см².

Коэффициенты, учитывающие влияние различных факторов на усталостную прочность пружины, имеют значения: эффективный коэффициент концентрации касательных напряжений K_τ = 1,07, коэффициент влияния качества обработки поверхности проволоки β = 0,83 и коэффициент учета масштабного фактора e_τ = 0,97 (эти коэффициенты могут иметь и иные обозначения, например, K_τ  ⇒ K_эфф, β ⇒ K_Fτ, ε_τ ⇒ K_dτ).

Требуется определить коэффициент n_R запаса усталостной прочности данной детали (пружины) механизма и коэффициент запаса прочности n_т по пределу текучести. Сравнить их.

Рис. 1 Клапанный механизм в разрезе (схема)

Задача Для балок определить прогибы и углы поворота сечений K₁ и K₂  по методу Мора.
Материал балок – сталь (E = 2×10⁵ МПа). Изобразить схему изогнутой оси.

Задача Проверить жесткость балки при допускаемом прогибе [f ] = 1/400l , где пролет  = 6 м. Сечение балки подобрать из двух швеллеров при [σ] = 160 МПа.