Колебательная система (КС), представленная на рисунке, состоит из невесомой пробирки

Задача

Колебательная система (КС), представленная на рисунке, состоит из невесомой пробирки площадью поперечного сечения S, на дно которой насыпана свинцовая дробь массой m. Пробирка с дробью опущена в жидкость плотностью ρ и находится в ней в вертикальном положении.

Пробирку, находящуюся в положении равновесия на глубине H₀, смещают на глубину H, а затем импульсом придают ей в начальный момент времени t = 0 скорость  или , в соответствии с заданием (см. таблицу № 14). В результате КС приходит в колебательное движение в вертикальном направлении. Коэффициент сопротивления при движении пробирки в жидкости равен r.

Для конкретной колебательной системы (КС), представленной на соответствующем рисунке, необходимо:

1. Вывести дифференциальное уравнение малых свободных затухающих колебаний, если сила сопротивления движению тела КС пропорциональна скорости, т.е. ,

где r – коэффициент сопротивления.

2. Определить круговую частоту ω₀ и период T₀ свободных незатухающих колебаний.
3. Найти круговую частоту ω и период T свободных затухающих колебаний.
4. Вычислить логарифмический декремент затухания.
5. Определить, используя начальные условия задачи и исходные данные, начальные амплитуду A₀ и фазу φ₀ колебаний.
6. Написать с учётом найденных значений уравнение колебаний.

Общие исходные данные: m* = 0,1 кг; l* = 0,1 м; r* = 0,2 кг/с; u* = 0,1 м/c; ρ* = 1000 кг/м³; S* = 0,001 м¹².

Таблица